猫眼电影记者 蔡国英 报道首次登录送91元红包

机器之心报道

机器之心编辑部

刚刚，Erdos 问题 #124 的一个弱化版本被证明。

这个问题自 1984 年在《算术杂志》上发表的论文 「整数幂集的完备序列」 中提出以来，近 30 年一直悬而未决

证明该问题的是普林斯顿大学数学博士 Boris Alexeev ，使用了来自 Harmonic 的数学 AI 智能体 Aristotle运行了这个问题，智能体最近更新了更强的推理能力和自然语言界面。

关于该问题的一些报道都声称AI独立解决了该问题的完整版本，事实却并非如此，产生了很多争议。Boris Alexeev 为此进行了修正：

在 Formal Conjectures 项目中，该猜想有一个正式声明。不幸的是，该声明中有一个拼写错误，其中注释在显示式方程中显示为 「≥1」 ，而相应的 Lean 声明为 「= 1」。（这使得声明变弱了。）因此，我也修正了这个问题，并包含了对修正后声明的证明。最后，我删除了我认为是不必要的声明方面，Aristotle 也证明了这一点。正如 DesmondWeisenberg 所提到的，存在一个涉及幂次 1（这里对应个位数）的问题，这意味着 [BEGL96] 中的猜想与此不同。我相信 [Er97] 中的版本与这里的陈述相符，部分原因在于它缺少 [BEGL96] 中明显必要的最大公约数条件。我目前无法获取 [Er97e] 来检查其中的陈述。考虑到Aristotle 的成就，这个问题如此微妙，实在不幸！

尽管如此，数学智能体独立地证明了 Erdos 问题#124的较简单版本，仍然表现了令人惊讶的数学证明能力。

Erdos 问题 #124 内容如下图所示，由于该证明存在微妙的错误，目前仍是一个开放问题。

Erdos 问题 #124 链接：https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

数学 AI 智能体 Aristotle 是一个一个用于自动形式化和形式验证的 API。根据 Harmonic 的介绍，其具备利用 IMO 金牌级引擎解决最复杂的推理问题的能力；可以自动将英语陈述和证明转换为经过验证的 Lean4 证明；能够无缝集成到项目中，自动利用用户的整个定理库和定义、依赖项以及 Mathlib。

Aristotle 链接：https://aristotle.harmonic.fun/

在 Erdos 问题 #124 的讨论中，tsaf 简要介绍了 Aristotle 针对该问题的证明方法，称其「出奇的简单」

有关详细的证明过程，感兴趣的读者可以参考：

https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md

对于 AI 独立进行完整的数学难题的证明，陶哲轩进行了深度的关注。在该问题下，也能看到他的评论。

陶哲轩对于 AI 工具在数学领域的观点仍然一以贯之，他认为像许多其他真实世界中的分布一样，数学中的未解决问题也呈现出典型的「长尾」结构

在数学的未解决问题中有很多没有得到关注的相对容易的问题，借助人工智能的强大自动化能力和推理能力去规模化地尝试攻克这些问题，就会有许多「低垂的果实」唾手可得。

陶哲轩在去年运行 Equational Theories Project 时亲眼见证了这一点。

这个项目攻击了普遍代数中 2200 万个蕴含式。利用简单的自动化方法的最初几轮扫描，在几天内就解决了其中相当大的一部分；随后又使用越来越复杂的方法，逐步攻克那些在早期扫描中顽固抵抗的剩余实例。最后的少数几个蕴含式则花费了数月的人类努力才最终解决。

陶哲轩在这个项目中取得了大规模自动化数学研究的宝贵经验，他以个人日志的形式完整记录了研究的详细过程，方法，结果和个人的思考。

日志链接：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Terence-Tao's-personal-log

Erdos 问题网站也是类似的例子。该网站目前收录了 1108 个在至少一篇埃尔德什论文中提出过的问题；其中当然包含一些极其困难的经典难题，但也有大量更偏门的问题，甚至连 Erdos 本人都没怎么关注过。

与 Equational Theories 的经验类似，陶哲轩现在也开始采用自动化方法，集中清理掉最底层的「低垂果实」。

几周前，网站上一批仍被标注为未解决的问题突然被划为「已解决」：AI 驱动的文献搜索工具发现，它们的解答其实早已存在于文献中。正在研究这些问题的数学家们也结合使用 AI 工具和形式化证明助手，来用 Lean 验证已有证明、生成这些问题关联的整数序列项，或补全某些方案中缺失的推理步骤。

陶哲轩认为，Erdos 问题#124的证明属于另一类「低垂果实」，是由于描述中的技术性疏漏，而变得意外容易解决的问题。

具体来说，Erdos 问题 #124 在三篇论文中被提出过，但其中两篇漏掉了一个关键假设，导致问题在那两种表述下直接成为一个已知结果（Brown 判别法）的推论。然而，这一点直到 Boris Alexeev 使用 Aristotle 工具处理该问题时才被发现。Aristotle 在数小时内就自主找到并（用 Lean）形式化了该弱化版本的解答。

目前，研究者正系统性地扫描网站上的剩余问题，以寻找更多类似的误述或快速的解决方法。这些努力短期内仍主要集中在「长尾」的最末端。

然而，这已经显示出自动化工具能力的不断增强，并在另一层面上帮助了研究这些问题的人类数学家：通过清除最容易的部分，使真正困难的问题更加清晰地呈现出来。

或许，从 AI 能够独立解决数学问题开始，我们就已站在数学领域深刻变革的边缘。

数学领域 Vibe 证明的时代已经悄然而至。

  时事1：皇冠网址登录

  12月26日,“高校终艾行动可持续发展暨国际合作公益专项基金”签约仪式举行,2024年一季度，上海、北京、深圳、广州GDP分别为11098.46亿元、10581.4亿元、8314.98亿元和7161.14亿元，增速分别为5.0%、6.0%、6.4%和3.6%，相较于去年同期回暖趋势明显。,申博平台首页。

  12月26日,欲增防卫费 日政府向国会提交补充预算案,（观察者网讯）土耳其本周突发连续强震致逾万人死伤，政府被批多年来对重灾防范不足，民众也对救援速度迟缓感到不满。,lol在哪买外围,澳门威斯尼斯人登录,万博注册页面在哪找。

  时事2：88线上游戏

  12月26日,东西问｜裴广一：海南自贸港封关如何赋能开放型世界经济？,第三招是抹黑，认为中国别有用心。柯比说，将继续关注中国“在世界其他地方获得影响力和立足点”。,皇冠官方下载,深海捕鱼正版,麻将明星三缺一。

  12月26日,1-11月全国期货市场累计成交额增长20.19%,青海省军区少将副司令员朗杰、工商银行青海省分行行长博来共同揭牌，西宁警备区大校司令员刘翔宣布了任职命令，市委常委、市政府副市长王刚参加活动并致词。,365体育注册,百姓彩票快三下载,中欧官方全站app下载。

  时事3：贝博app体育官方下载网

  12月26日,广东自然岸线保有率逐年下降趋势得到根本性扭转,值得一提的是，此次政策也一并适用于网约车驾驶员。这意味着无论是传统出租车还是新兴的网约车平台，都将受益于这一政策调整。,hth华体会在线官网,博狗888体育,西甲买球app下载。

  12月26日,借力“十五冬” 辽宁冰雪“冷资源”释放“热效应”,随着中国成功调解伊朗和沙特矛盾，中国在中东地区会越来越受欢迎，与地区国家深化合作、推进“一带一路”高质量建设也将更加顺畅。这也是美国受刺激的一个原因。,365bet体育在线开户,新银河唯一官方网站,二八杠好友。

  时事4：滚球怎么看下半场有球

  12月26日,冬季出行有哪些安全注意事项？这份重要提醒请查收→,据公开资料，郭宁宁，女，汉族，1970年7月出生，辽宁沈阳人，1999年3月加入中国共产党，1994年7月参加工作，研究生学历，经济学博士，注册会计师。她是第二十届中央候补委员。,365是什么平台,迪拜看世界杯的网站,体育365注册。

  12月26日,欧洲理事会主席表示：不能接受美国威胁干预欧洲政治,“佛山的产业结构中，家电、家具、建材占比较高，都是与房地产紧密相关的产业，所以受房地产市场不景气影响较大。”广东省体制改革研究会执行会长彭澎认为，这是一季度佛山经济增速下滑的主要原因。,天博体育下载,二十一点赌牌,金博宝188手机网页。