猫眼电影记者 徐顺利 报道首次登录送91元红包

机器之心报道

机器之心编辑部

刚刚，Erdos 问题 #124 的一个弱化版本被证明。

这个问题自 1984 年在《算术杂志》上发表的论文 「整数幂集的完备序列」 中提出以来，近 30 年一直悬而未决

证明该问题的是普林斯顿大学数学博士 Boris Alexeev ，使用了来自 Harmonic 的数学 AI 智能体 Aristotle运行了这个问题，智能体最近更新了更强的推理能力和自然语言界面。

关于该问题的一些报道都声称AI独立解决了该问题的完整版本，事实却并非如此，产生了很多争议。Boris Alexeev 为此进行了修正：

在 Formal Conjectures 项目中，该猜想有一个正式声明。不幸的是，该声明中有一个拼写错误，其中注释在显示式方程中显示为 「≥1」 ，而相应的 Lean 声明为 「= 1」。（这使得声明变弱了。）因此，我也修正了这个问题，并包含了对修正后声明的证明。最后，我删除了我认为是不必要的声明方面，Aristotle 也证明了这一点。正如 DesmondWeisenberg 所提到的，存在一个涉及幂次 1（这里对应个位数）的问题，这意味着 [BEGL96] 中的猜想与此不同。我相信 [Er97] 中的版本与这里的陈述相符，部分原因在于它缺少 [BEGL96] 中明显必要的最大公约数条件。我目前无法获取 [Er97e] 来检查其中的陈述。考虑到Aristotle 的成就，这个问题如此微妙，实在不幸！

尽管如此，数学智能体独立地证明了 Erdos 问题#124的较简单版本，仍然表现了令人惊讶的数学证明能力。

Erdos 问题 #124 内容如下图所示，由于该证明存在微妙的错误，目前仍是一个开放问题。

Erdos 问题 #124 链接：https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

数学 AI 智能体 Aristotle 是一个一个用于自动形式化和形式验证的 API。根据 Harmonic 的介绍，其具备利用 IMO 金牌级引擎解决最复杂的推理问题的能力；可以自动将英语陈述和证明转换为经过验证的 Lean4 证明；能够无缝集成到项目中，自动利用用户的整个定理库和定义、依赖项以及 Mathlib。

Aristotle 链接：https://aristotle.harmonic.fun/

在 Erdos 问题 #124 的讨论中，tsaf 简要介绍了 Aristotle 针对该问题的证明方法，称其「出奇的简单」

有关详细的证明过程，感兴趣的读者可以参考：

https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md

对于 AI 独立进行完整的数学难题的证明，陶哲轩进行了深度的关注。在该问题下，也能看到他的评论。

陶哲轩对于 AI 工具在数学领域的观点仍然一以贯之，他认为像许多其他真实世界中的分布一样，数学中的未解决问题也呈现出典型的「长尾」结构

在数学的未解决问题中有很多没有得到关注的相对容易的问题，借助人工智能的强大自动化能力和推理能力去规模化地尝试攻克这些问题，就会有许多「低垂的果实」唾手可得。

陶哲轩在去年运行 Equational Theories Project 时亲眼见证了这一点。

这个项目攻击了普遍代数中 2200 万个蕴含式。利用简单的自动化方法的最初几轮扫描，在几天内就解决了其中相当大的一部分；随后又使用越来越复杂的方法，逐步攻克那些在早期扫描中顽固抵抗的剩余实例。最后的少数几个蕴含式则花费了数月的人类努力才最终解决。

陶哲轩在这个项目中取得了大规模自动化数学研究的宝贵经验，他以个人日志的形式完整记录了研究的详细过程，方法，结果和个人的思考。

日志链接：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Terence-Tao's-personal-log

Erdos 问题网站也是类似的例子。该网站目前收录了 1108 个在至少一篇埃尔德什论文中提出过的问题；其中当然包含一些极其困难的经典难题，但也有大量更偏门的问题，甚至连 Erdos 本人都没怎么关注过。

与 Equational Theories 的经验类似，陶哲轩现在也开始采用自动化方法，集中清理掉最底层的「低垂果实」。

几周前，网站上一批仍被标注为未解决的问题突然被划为「已解决」：AI 驱动的文献搜索工具发现，它们的解答其实早已存在于文献中。正在研究这些问题的数学家们也结合使用 AI 工具和形式化证明助手，来用 Lean 验证已有证明、生成这些问题关联的整数序列项，或补全某些方案中缺失的推理步骤。

陶哲轩认为，Erdos 问题#124的证明属于另一类「低垂果实」，是由于描述中的技术性疏漏，而变得意外容易解决的问题。

具体来说，Erdos 问题 #124 在三篇论文中被提出过，但其中两篇漏掉了一个关键假设，导致问题在那两种表述下直接成为一个已知结果（Brown 判别法）的推论。然而，这一点直到 Boris Alexeev 使用 Aristotle 工具处理该问题时才被发现。Aristotle 在数小时内就自主找到并（用 Lean）形式化了该弱化版本的解答。

目前，研究者正系统性地扫描网站上的剩余问题，以寻找更多类似的误述或快速的解决方法。这些努力短期内仍主要集中在「长尾」的最末端。

然而，这已经显示出自动化工具能力的不断增强，并在另一层面上帮助了研究这些问题的人类数学家：通过清除最容易的部分，使真正困难的问题更加清晰地呈现出来。

或许，从 AI 能够独立解决数学问题开始，我们就已站在数学领域深刻变革的边缘。

数学领域 Vibe 证明的时代已经悄然而至。

  时事1：天博官网下载链接

  12月26日,2025热词看中国经济④丨人工智能+,当前，中国和菲律宾等地区国家均处于疫后复苏和繁荣振兴的关键时刻，我们应弘扬睦邻友好、互利共赢的人间正道，摒弃挑拨离间、拱火生事的歪道，更不能走上引狼入室、开门揖盗的邪道。希望菲方与中方一道，聚精会神求合作，一心一意谋发展，真正做地区和平稳定和繁荣振兴的维护者、推动者和建设者，为中菲两国人民切实带来更多福祉。,爱游戏线路检测。

  12月26日,一入锅就炸了，小心这些美味秒变油锅“炸弹”！,会议围绕企业社会责任信息披露趋势、ESG价值核算、ESG评级体系及ESG战略实践等内容展开深入研讨，并展示了陕西企业在ESG与可持续信息披露方面的探索与阶段性成果。会议同期发布了“2025陕西企业可持续信息披露名单”“金蜜蜂2025陕西优秀企业可持续发展报告榜”以及入选《2025金蜜蜂企业可持续发展蓝皮书》案例证书等重要成果。,线上炸金花直营,九五至尊游戏平台,世界杯怎么买球投注。

  时事2：利记集团

  12月26日,香港特区政府介绍火灾搜救最新进展：已完成5栋大楼搜救工作,战略转型的漫长征程：虽然康养生态的蓝图绘就，但短期内难以改变传统业务“一条腿走路”的局面。从销售保单到提供“产品+服务”的综合解决方案，需要巨大的资源投入、时间沉淀和跨行业整合能力，这对公司的战略耐心和执行能力构成了严峻挑战。,美高梅娱乐真人平台,ag平台加入,澳门海立方下载。

  12月26日,飞机“锁座”引争议 有偿选座被质疑 江苏省消保委已对10家航司展开调查,表面上看，北京人寿已成功穿越盈亏平衡点，步入盈利快车道。公司不仅在成立的第六年（2023年）就实现了盈利，打破了寿险业“七平八盈”的常规周期，更在随后两年实现了利润的几何级数增长。2024年，公司净利润达1.04亿元，同比激增近8倍；2025年上半年，净利润进一步跃升至1.50亿元。与此同时，公司资产规模持续扩张，2025年6月末总资产突破320亿元，综合偿付能力充足率保持在190%以上的高位。,william体育,巴黎人app网站官网网址,AG电子平台。

  时事3：乐鱼国际网页版登录

  12月26日,京东宣布追加超过3000万元物资，保障香港大埔火灾后民生所需,同期，虽然锂辉石提锂企业产量环比有所增长，但是上述期间月度产量增幅不过0.15万吨，这使得下半年以来矿石提锂整体产量明显回落。,凯时网址官网,威尼斯人网上网站,众博娱乐。

  12月26日,湖北省博物馆创意美食“出圈” 游客尝鲜“漂亮饭”,气象部门预报，数日内新一次“大气河”天气将侵袭加州，且更多这类天气状况似乎正在酝酿。,缅甸锦利国际,BOB网投平台,168可靠吗。

  时事4：365bet体育注册

  12月26日,经济前瞻论坛2025年会在北京举行,世界经济论坛官网17日刊文称，中国已成为全球最大的电动汽车市场，中国车企生产的电动汽车占全球电动汽车总产量的一半以上。而在这一市场上，墨菲和其他分析师认为，美国车企当下很难抵挡中国自主品牌的实力。墨菲说，消费者现在对中国自主品牌的“忠诚度”很强，尤其是在美国对中国电动汽车征收超过100%的关税后，这种“忠诚度”可能会变得更加强烈。,威尼斯人手机版,OBET,乐鱼网页版登录不了。

  12月26日,昆明各界人士纪念“一二·一”运动80周年,昊海生科表示，公司通过投资标的公司，并获取标的公司产品在中国境内经销权，切入生物羊膜这一高价值医疗器械赛道，有效补充了公司现有的产品组合，拓展眼科与骨科领域的业务覆盖。,劲爆体育在线直播,2026足球世界杯投注,大赢家即时比分足球比分。