猫眼电影记者 范明月 报道首次登录送91元红包

机器之心报道

机器之心编辑部

刚刚，Erdos 问题 #124 的一个弱化版本被证明。

这个问题自 1984 年在《算术杂志》上发表的论文 「整数幂集的完备序列」 中提出以来，近 30 年一直悬而未决

证明该问题的是普林斯顿大学数学博士 Boris Alexeev ，使用了来自 Harmonic 的数学 AI 智能体 Aristotle运行了这个问题，智能体最近更新了更强的推理能力和自然语言界面。

关于该问题的一些报道都声称AI独立解决了该问题的完整版本，事实却并非如此，产生了很多争议。Boris Alexeev 为此进行了修正：

在 Formal Conjectures 项目中，该猜想有一个正式声明。不幸的是，该声明中有一个拼写错误，其中注释在显示式方程中显示为 「≥1」 ，而相应的 Lean 声明为 「= 1」。（这使得声明变弱了。）因此，我也修正了这个问题，并包含了对修正后声明的证明。最后，我删除了我认为是不必要的声明方面，Aristotle 也证明了这一点。正如 DesmondWeisenberg 所提到的，存在一个涉及幂次 1（这里对应个位数）的问题，这意味着 [BEGL96] 中的猜想与此不同。我相信 [Er97] 中的版本与这里的陈述相符，部分原因在于它缺少 [BEGL96] 中明显必要的最大公约数条件。我目前无法获取 [Er97e] 来检查其中的陈述。考虑到Aristotle 的成就，这个问题如此微妙，实在不幸！

尽管如此，数学智能体独立地证明了 Erdos 问题#124的较简单版本，仍然表现了令人惊讶的数学证明能力。

Erdos 问题 #124 内容如下图所示，由于该证明存在微妙的错误，目前仍是一个开放问题。

Erdos 问题 #124 链接：https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

数学 AI 智能体 Aristotle 是一个一个用于自动形式化和形式验证的 API。根据 Harmonic 的介绍，其具备利用 IMO 金牌级引擎解决最复杂的推理问题的能力；可以自动将英语陈述和证明转换为经过验证的 Lean4 证明；能够无缝集成到项目中，自动利用用户的整个定理库和定义、依赖项以及 Mathlib。

Aristotle 链接：https://aristotle.harmonic.fun/

在 Erdos 问题 #124 的讨论中，tsaf 简要介绍了 Aristotle 针对该问题的证明方法，称其「出奇的简单」

有关详细的证明过程，感兴趣的读者可以参考：

https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md

对于 AI 独立进行完整的数学难题的证明，陶哲轩进行了深度的关注。在该问题下，也能看到他的评论。

陶哲轩对于 AI 工具在数学领域的观点仍然一以贯之，他认为像许多其他真实世界中的分布一样，数学中的未解决问题也呈现出典型的「长尾」结构

在数学的未解决问题中有很多没有得到关注的相对容易的问题，借助人工智能的强大自动化能力和推理能力去规模化地尝试攻克这些问题，就会有许多「低垂的果实」唾手可得。

陶哲轩在去年运行 Equational Theories Project 时亲眼见证了这一点。

这个项目攻击了普遍代数中 2200 万个蕴含式。利用简单的自动化方法的最初几轮扫描，在几天内就解决了其中相当大的一部分；随后又使用越来越复杂的方法，逐步攻克那些在早期扫描中顽固抵抗的剩余实例。最后的少数几个蕴含式则花费了数月的人类努力才最终解决。

陶哲轩在这个项目中取得了大规模自动化数学研究的宝贵经验，他以个人日志的形式完整记录了研究的详细过程，方法，结果和个人的思考。

日志链接：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Terence-Tao's-personal-log

Erdos 问题网站也是类似的例子。该网站目前收录了 1108 个在至少一篇埃尔德什论文中提出过的问题；其中当然包含一些极其困难的经典难题，但也有大量更偏门的问题，甚至连 Erdos 本人都没怎么关注过。

与 Equational Theories 的经验类似，陶哲轩现在也开始采用自动化方法，集中清理掉最底层的「低垂果实」。

几周前，网站上一批仍被标注为未解决的问题突然被划为「已解决」：AI 驱动的文献搜索工具发现，它们的解答其实早已存在于文献中。正在研究这些问题的数学家们也结合使用 AI 工具和形式化证明助手，来用 Lean 验证已有证明、生成这些问题关联的整数序列项，或补全某些方案中缺失的推理步骤。

陶哲轩认为，Erdos 问题#124的证明属于另一类「低垂果实」，是由于描述中的技术性疏漏，而变得意外容易解决的问题。

具体来说，Erdos 问题 #124 在三篇论文中被提出过，但其中两篇漏掉了一个关键假设，导致问题在那两种表述下直接成为一个已知结果（Brown 判别法）的推论。然而，这一点直到 Boris Alexeev 使用 Aristotle 工具处理该问题时才被发现。Aristotle 在数小时内就自主找到并（用 Lean）形式化了该弱化版本的解答。

目前，研究者正系统性地扫描网站上的剩余问题，以寻找更多类似的误述或快速的解决方法。这些努力短期内仍主要集中在「长尾」的最末端。

然而，这已经显示出自动化工具能力的不断增强，并在另一层面上帮助了研究这些问题的人类数学家：通过清除最容易的部分，使真正困难的问题更加清晰地呈现出来。

或许，从 AI 能够独立解决数学问题开始，我们就已站在数学领域深刻变革的边缘。

数学领域 Vibe 证明的时代已经悄然而至。

  时事1：ag私网包杀

  12月22日,白皮书显示上海2024年金融科技产业规模约为4405亿元人民币,世界经济论坛大中华区主席陈黎明表示，相比5年前，世界发生了深刻变化，一方面，气候变化、地缘冲突、贸易摩擦等引发了一系列风险及影响；另一方面，人工智能、生物技术、量子计算、能源转型等获得了快速发展。在此背景下，人类应当如何更好地合作，共同面对这个多种变革交织的时代，是当今世界至关重要的话题。,IM真人官网。

  12月22日,（侨乡新貌）广东揭阳将建潮侨地标建筑 凝聚全球潮人乡情,非洲的手机市场一直是鱼龙混杂，更多人其实在使用“翻新机”，这也是众多手机品牌并未认真看待非洲市场的原因。,娱网棋牌官网手机版,皇冠即时足球比分,亚愽体育。

  时事2：足球竞彩网

  12月22日,中新人物 | 24年了，谁在等待田震？,通用汽车董事长兼首席执行官玛丽・博拉本月早些时候，在《纽约时报》举办的 DealBook 峰会中坦言：‘车企不得不持续投资，只为迎合监管层制定的政策框架。而如今，相关政策发生了 180 度的彻底转向，政策反复摇摆，就是车企首席执行官们当下的生存现状。’,钱龙捕鱼个人技巧,MG电子免费试玩,特狗app。

  12月22日,云南临沧清水河口岸进口首票缅甸翡翠,其二，节省外汇储备并支持国内矿业发展。用本币从本国金矿采购，可以节省外汇储备，并能支持国内矿业发展。一些国家的央行（如加纳、坦桑尼亚）要求矿商将一定比例的产量卖给央行，是想储备增加和资金留在国内经济的双赢。,w88优德体育app,云顶网站是什么,加内特小罗代言米乐。

  时事3：自由抢庄牛牛app

  12月22日,中越浦寨-新清货运专用通道智慧口岸中方段即将投运,以上材料能引发你怎样的联想与思考？请结合你的体验和感悟，写一篇文章。,必赢亚洲手机网页,贝博APP体育官网下载,大富豪app。

  12月22日,年轻人当上“文化特派员”：既当“搭桥人”链接资源 又做“播种者”培育内生动力,其一，基于安全性的战略诉求，部分央行可能延迟或选择不公开其购金行为，导致IMF“报告数据”或出现低估。近年世界黄金协会的季度数据（综合考虑贸易流向的交叉验证）和IMF的报告购金数据存在阶段性背离。,万福娱乐城,澳门网页游戏,365bet体育手机版官网下载。

  时事4：永利皇宫官网登录

  12月22日,王励勤谈混团世界杯：希望大家不仅关注金牌归属,其二，金融主权意识增强的背景下央行黄金储备也出现了动态平衡。近年来的一个显著趋势是“黄金回家”。例如，德国从2013年起耗时四年从纽约和巴黎运回674吨黄金。印度、匈牙利、土耳其等国家近几年也开始将存在海外的黄金运回国内。这背后主要的驱动因素除了地缘政治的不确定性上升，也有各国金融主权意识的增强。,世界杯买球图片高清,沙巴体育沙,ag平台。

  12月22日,看十年奋进之“陆”,2025国际财富管理与金融投资论坛•澳门——上海理财博览会澳门论坛圆满举行！,国际音标发音表及读法真人,世界杯怎么买球彩票,手机赌博app官方。